Александр Барсегян родился 10 января 1929 года в городе Батуми (Аджарская АССР).
По окончании в 1953 году режиссерского факультета Харьковского государственного театрального института работал режиссером Днепродзержинского украинского музыкально-драматического театра.
С 1956 года – главный режиссер Львовского театра юного зрителя, позже – республиканского Киевского театра юного зрителя. За постановку спектакля «Молодая гвардия» в 1964 году отмечен премией Ленинского комсомола.
С 1970 по 1973 года Александр Барсегян возглавлял Киевский театр оперетты.
С 1975 года – главный режиссер, а с 1983 года – главный режиссер - директор Харьковского академического русского драматического театра им. А. С. Пушкина.
На сцене театра им. А. С. Пушкина Александр Сергеевич осуществил постановки более 80 произведений украинской, российской, а также мировой современной и классической драматургии.
В течение многих лет объединял творческую работу в театре с педагогической деятельностью: руководил актерской студией Киевского театра оперетты, был заведующим кафедрой режиссуры Харьковского института искусств им. И. П. Котляревского.
Активный общественный деятель, Александр Барсегян был заместителем председателя Харьковского межобластного правления Союза театральных деятелей Украины.
Удостоен званий заслуженного артиста УССР (1965 г.), заслуженного деятеля искусств (1969 г.), народного артиста УССР (1978 г.), награжден орденом Трудового Красного Знамени (1986 г.), Почетной грамотой КМУ (2004 г.), орденом «За заслуги» III степени (2004 г.).
Выражаем глубочайшие соболезнования родным и близким Александра Сергеевича. Это был неординарный, яркий человек, мастер своего дела, руководитель от Бога, который много сделал для Харькова. С именем Александра Барсегяна связана целая эпоха харьковской и в целом украинской театральной жизни. Именно такие люди всегда составляли гордость нашего города и приумножали его славу.
Светлая память об Александре Сергеевиче навсегда останется в сердцах всех, кто его знал.